Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx-(2m+1)=0(*)$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+1>0\Leftrightarrow (m+1)^2>0$

$\Leftrightarrow m\neq -1$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2m; x_1x_2=-(2m+1)$

Khi đó:

$\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2m}+\sqrt{3-2m-1}=2m+1$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m< 1\\ \sqrt{2m}+\sqrt{2(1-m)}=2m+1\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế dễ dàng giải ra $m=\frac{1}{2}$ (thỏa)

Lời giải:
PT hoành độ giao điểm: 

$x^2-(2mx-2m+1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+(2m-1)=0(*)$

Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=2m-1$

$\Rightarrow x_1x_2+1-x_1-x_2=0$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=0$

$\Rightarrow x_1=1$ hoặc $x_2=1$

Nếu $x_1=1$ thì $x_2=2m-x_1=2m-1$

Khi đó:

$x_1^2=x_2-4$

$\Leftrightarrow 1=2m-1-4$

$\Leftrightarrow m=3$ (tm) 

Nếu $x_2=1$ thì $x_1=2m-x_2=2m-1$

Khi đó:

$x_1^2=x_2-4$

$\Leftrightarrow (2m-1)^2=1-4=-3<0$ (vô lý) 

Vậy.........

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x^2-2mx-6=0\)

a=2; b=-2m; c=-6

Vì ac<0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có: \(\left|x_1-x_2\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2-4\cdot\dfrac{-6}{2}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2+12}=4\)

\(\Leftrightarrow m^2+12=16\)

=>m=2 hoặc m=-2

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=2\left(m-2\right)x+5\Leftrightarrow x^2-2\left(m-2\right)x-5=0\)

Do \(ac=-5< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

\(\Rightarrow x_1< 0< x_2\Rightarrow x_2+2>0\)

Theo hệ thức Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-2\right)\)

Ta có:

\(\left|x_1\right|-\left|x_2+2\right|=10\)

\(\Leftrightarrow-x_1-x_2-2=10\)

\(\Leftrightarrow-2\left(m-2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow m=-4\)